TI POLITALA 2A ALPRO GRAF DAN POHON
GRAF
Graph adalah sekumpulan noktah (simpul/vertex) di dalam bidang dua dimensi yang dihubungkan dengan sekumpulan garis (sisi/edge). Graph dapat digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Sedangkan Pohon (tree) adalah graph yang khusus. Pohon dapat didefinisikan sebagai graph-tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit (cycle).
Perbedaan antara graph dengan tree yaitu pada graph, mampu terjadi cycle, artinya dari suatu titik yang terhubung oleh edge dapat kembali lagi ke vertextersebut. Sedangkan tree, merupakan suatu graf yang alur edge nya tidak dapat kembali lagi ke vertex awalnya.
Macam – macam representasi graph dalam struktur data:
· Dengan Array
yaitu pada suatu graf, hubungan antar simpul/vertexnya direpresentasikan dengan array dua dimensi, misalnya Array[m][n], dimana m dan n merupakan kolom dan baris yang merepresentasikan simpul-simpulnya dan nilai dari array tersebut menandakan hubungan antar simpul. Apakah terdapat sisi yang menghubungkan kedua simpul tersebut atau tidak.
Contoh Graf
Array yang terbentuk :
|
1 |
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
2
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|
3
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
4
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
5
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
|
6
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
Contohnya:
Pada kolom ke 1 baris 1 bernilai 1 menandakan simpul 1 dengan simpul 1 itu sendiri saling terhubung. Begitu juga dengan kolom ke 2 baris 1 dan sebaliknya baris ke 2 kolom 1 bernilai 1 juga menandakan adanya hubungan antara simpul 2 dengan simpul 1.
Sedangkan nilai 0 menandakan bahwa antara kedua simpul tersebut tidak saling berhubungan.
· Dengan Linked List yaitu node/vertex dari graf tersebut direpresentasikan dengan linked list dari header node. Setiap dari header node tersebut berisi dua sampai tiga field atau lebih sesuai dengan kebutuhan. Pada graf berarah dan tak berbobot (directed-unweighted graph) minimal dibutuhka tiga field yaitu: info, nextVtx, edgePtr. info berisi informasi tentang vertex tersebut seperti nama vertex atau semacamnya, nextVtx adalah pointer yang menunjuk ke vertex selanjutnya jika ada. Sedangkan edgePtr adalah pointer yang menunjuk ke edge dari vertex tersebut. Ilustrasi Node untuk Vertex dan Edge dengan Linked List Contoh Graf Berarah-Tak Berbobot Ilustrasi Linked List dalam Graf Representasi graph terbaik menurut kami yaitu dengan menggunakan linked list. Merepresentasikan graph dengan matriks adjacency seperti pada array tidak mencukupi karena membutuhkan info lebih lanjut mengenai jumlah node. Jika sebuah graph harus dibentuk dalam rangka pemecahan masalah, atau harus diperbarui secara dinamik selama program berlangsung, sebuah matriks baru harus dibuat pada setiap penambahan atau penghapusan suatu node sehingga tidak efisien, khususnya dalam dunia nyata dimana suatu graph bisa memiliki ratusan atau lebih node. Jadi akan lebih baik jika membuat graph menggunakan linked list.
1. Shortest Path Problem adalah problem bagaimana kita mencari sebuah jalur pada graf yang meminimalkan jumlah bobot sisi pembentuk jalur tersebut.
Macam- macam algoritmanya :
a. Algoritma Dijkstra
adalah sebuah greedy algorithm dalam memecahkan permasalahan jarak terpendek (shortest path problem) untuk sebuah simple graph takberarah (undirected graph) dengan bobot-bobot sisi (edge weights) yang bernilai tak-negatif. Algoritma Djikstra bekerja dengan cara mengunjungi simpul-simpul pada graf dimulai dengan simpul sumber. Kemudian secara berulang memilih simpul-simpul terdekat dan menghitung total bobot semua sisi yang dilewati untuk mencapai simpul tersebut. ·
Menandai simpul awal dengan [0,-] dan statusnya permanen · Beri label untuk node yang dapat berhubungan dengan node permanen dengan [a,b] dan status temporary dimana: a = jarak terpendek ke node awal b = node sebelumnya/yang mendahului ·
Mencari a terkecil dan status temporary berubah menjadi permanen · Apabila status sudah permanen semua maka proses berhenti, tetapi apabila belum akan kembali ke langkah b.
b. Algoritma Bellman-Ford
adalah salah satu algoritma dalam penyelesaian shortest path problem untuk weighted-directed graph (graf berarah) dimana jika ada salah satu edge-nya yang bernilai negatif. Jika dalam graf tersebut terdapat suatu cycle, dari edge negatif maka algoritma Bellman-Ford hanya bisa mendeteksinya, dan algoritma ini tidak dapat menemukan shortest path yang tidak mengulangi beberapa vertex dari graf semacam itu.
Menentukan vertex source dan daftar seluruh vertices maupun edges · Assign nilai untuk distance dari vertex source = 0, dan yang lain infinite ·
Mulailah iterasi terhadap semua vertices yang dimulai dari vertex source, untuk menentukan distance dari semua vertices yang berhubungan dengan vertex source dengan formula seperti berikut ini :
– U = vertex asal
– V = vertex tujuan
– UV = Edges yang menghubungkan U dan V
– Jika distance V, lebih kecil dari distance U + weight UV maka distance V, diisi dengan distance U + weight UV
– Lakukan hingga semua vertices terjelajahi.
Untuk mengecek apakah ada negative cycle dalam graf tersebut lakukan iterasi untuk semua edges yang ada, kemudian lakukan pengecekan seperti dibawah ini: Untuk semua edges UV, jika ada distance vertex U + weight edges UV kurang dari distance vertex V maka sudah jelas bahwa graf tersebut memiliki negative cycle.
c. Algoritma Floyd
merupakan algoritma untuk pencarian lintasan terpendek pada suatu graf berbobot (weighted graph). Algoritma Floyd-Warshall membandingkan semua kemungkinan lintasan pada graf untuk setiap sisi dari semua simpul. Cara kerja algoritma Floyd adalah sebagai berikut:
· Representasikan graf dengan N buah simpul dan bobotnya dengan menggunakan dua buah matriks ketetanggaan, matriks M untuk bobot dan Matriks Z untuk lintasan.
· Manipulasi keduanya sebanyak N iterasi.
· Matriks M hasil manipulasi akan menghasilkan bobot akhir
· Telusuri Matriks Z untuk mendapatkan lintasan terpendek
d. Algoritma Johnson
adalah algoritma yang digunakan untuk mencari jarak terdekat, dimana di dalamnya juga terdapat algoritma Bellman Ford dan algoritma Dijkstra dalam menentukan nilai-nilainya
· Langkah awal penyelesaian Algoritma Johnson adalah mengkonstruksi digraph baru dengan menambahkan titik baru pada digraph dan memberi bobot sisi yang keluar dari titik baru tersebut dengan 0.
· Langkah selanjutnya adalah mencari lintasan terpendek dari titik baru ke semua titik lain. Lintasan terpendek tersebut digunakan untuk mengubah bobot semua sisi pada digraph baru agar bobot semua sisi bernilai positif.
· Setelah itu mencari lintasan terpendek dari tiap titik ke semua titik lain dan mengubah hasilnya dengan menggunakan lintasan terpendek dari titik baru ke semua titik lain.
· SHasil dari perhitungan ini berupa matriks. Dari matriks ini dapat diketahui panjang lintasan terpendek dari tiap titik ke semua titik lain.
a. Travelling Salesman Problem (TSP)
adalah suatu permasalahan dimana seorang salesman harus mengunjungi semua kota dimana tiap kota hanya dikunjunjungi sekali, dan dia harus mulai dari dan kembali ke kota asal. Tujuannya adalah menentukan rute dengan jarak total atau biaya paling minimum
Salah satu algoritma yang dapat dipakai yaitu algoritma Heuristik yang mencari nilai minimum bobot dengan menggunakan spanning tree sehingga menghasilkan irisan dari graf yang memiliki nilai optimal. Proses selanjutnya adalah membentuk sirkuit Euler. Lalu simpul yang dilalui lebih dari satu kali diperbaiki sehingga menghasilkan solusi paling optimal.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
· Cari minimum spanning tree yang menghubungkan tiap n simpul dari graph yang kita namakan dengan network A
· Tentukan simpul graph berderajat, jika k jumlah simpul berderajat ganjil, maka k pasti genap. Kita pasangkan k simpul sehingga panjang cabang yang menghubungkan simpul minimum. Pasangan simpul yang mempunyai nilai minimum membentuk jaringan yang dinamakan network B. Network A dan B digabung menjadi network C.
· jaringan C tidak mempunyai simpul berderajat ganjil. Kita dapat menggambarkan sirkuit Euler di network C. Network C merupakan aproksimasi solusi dari travelling salesman problem.
· Periksa setiap simpul pada network C yang dikunjungi lebih dari satu kali dan perbaiki solusi travelling salesman problem, dengan menerapkan ketidaksamaan 1(a,b) < 1(a,c) + 1(b,c)
b. Chinese Postman Problem (CPP)
Masalah Chinese Postman Problem pertama kali diformulasikan dalam bentuk masalah untuk menentukan sisi terpendek bagi seorang tukang pos untuk melewati semua jalan yang ada dan kembali ke tempat semula. Masalah ini dikemukakan oleh Kwan Mei-Ko di awal 1960-an dalam jurnal Chinese Mathematics. Dalam istilah graf definisi CPP adalah mencari lintasan pada suatu graf berbobot yang terhubung yang melewati semua sisi (minimal sekali) dengan jumlah bobot minimum dari suatu simpul kembali ke simpul awal. Masalah ini dapat terjadi pada graf berarah, tidak berarah, dan graf campuran. Solusi untuk graf tidak berarah dan berarah dapat diselesaikan secara efisien dalam waktu polinomial, sedangkan solusi untuk graf campuran ternyata sulit didapat (termasuk dalam kategori masalah NP-Complete). Dasar untuk menyelesaikan masalah CPP adalah keberadaan sirkuit dan lintasan Euler.
Algoritmanya adalah :
· Jika graf adalah graf genap, maka hanya menentukan jalur Euler graf.
· Jika graf ganjil, maka:
· Menghitung dan kumpulkan simpul-simpul yang berderajat ganjil.
· Mencari jalur-jalur terpendek yang menghubungkan simpul-simpul ganjil.
· Menggandakan jalur-jalur tersebut secara virtual yaitu dengan melewat sisi dua kali
c. Coloring Grap
atau pewarnaan graf adalah pemberian warna terhadap vertex-vertex graf dimana dua buah vertex yang berdampingan tidak boleh mempunyai warna yang sama. G bewarna n artinya graf tersebut menggunakan n warna. Bilangan kromatis dari G = K(G) adalah jumlah minimum warna yang dibutuhkan.
Algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pewarnaan graf salah satunya adalah algoritma Greedy. Langkah-langkahnya sebagai berikut:
· Inisialisasi himpunan solusi dengan kosong.
· Urutkan vertex berdasarkan jumlah edge terbanyak.
· Melakukan pemilihan vertex yang akan diisi warnanya dengan fungsi seleksi vertex.
· Memilih kandidat warna dengan menggunakan kandidat kurangi warna anggota himpunan kandidat dengan warna yang diambil.
· Periksa kelayakan warna yang dipilih menggunakan langkah ketiga. Jika layak dimasukkan ke himpunan solusi.
· Periksa apakah solusi sudah meliputi pewarnaan seluruh vertex. Jika sudah maka berhenti, jika belum maka akan kembali ke langkah ketiga.
d. Minimum Spanning Tree (MST)
merupakan cara menemukan jalan terpendek dimana semua vertex telah terlewati sekali tanpa terjadi looping. Salah satu algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya yaitu algoritma Prim.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
· Pilih sisi graf G yang berbobot paling minimum dan masukkan ke dalam T.
· Pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi tidak membentuk sirkuit di T, lalu tambahkan ke dalam T.
· Ulangi langkah kedua sebanyak n – 2 kali.
TREE
1. PENGERTIAN TREE
Kumpulan node yang saling terhubung satu sama lain dalam suatu kesatuan yang membentuk layakya struktur sebuah pohon. Struktur pohon adalah suatu cara merepresentasikan suatu struktur hirarki (one-to-many) secara grafis yang mirip sebuah pohon, walaupun pohon tersebut hanya tampak sebagai kumpulan node-node dari atas ke bawah. Suatu struktur data yang tidak linier yang menggambarkan hubungan yang hirarkis (one-to-many) dan tidak linier antara elemen-elemennya.
Deklarasi Pohon
Jika kita memperhatikan setiap simpul dalam pohon biner, kita bisa menyusun struktur data yang tepat dari simpul-simpul tersebut. Kita dapat melihat bahwa dalam setiap simpul selalu berisi dua buah pointer untuk menunjuk ke cabang kiri dan cabang kanan, dan informasi yang akan disimpan dalamsimpul tersebut. Dengan memperhatikan hal ini, simpul dalam pohon biner disajikan sebagai berikut:
Sesuai dengan gambar 7.1, maka deklarasi list yang sesuai adalah:
typedef char TypeInfo;
typedef struct Simpul *Tree;
struct Simpul {
TypeInfo Info;
tree Kiri, /* cabang kiri */
Kanan; /* cabang kanan */
};
ISTILAH DALAM TREE
1. JENIS-JENIS TREE
BINARY TREE
Tree dengan syarat bahwa tiap node hanya boleh memiliki maksimal dua sub
pohon dan kedua subpohon harus terpisah.
Kelebihan struktur Binary Tree :
- Mudah dalam penyusunan algoritma sorting
- Searching data relatif cepat
- Fleksibel dalam penambahan dan penghapusan data
- KUNJUNGAN PADA POHON BINER
Sebuah pohon biner memiliki operasi traversal yaitu suatu kunjungan pada
suatu simpul tepat satu kali. Dengan melakukan kunjungan lengkap kita akan
memperoleh urutan informasi secara linier yang tersinpan di dalam pohon biner.
Terdapat tiga jenis kunjungan pada pohon biner, yaitu :
- PREORDER
Kunjungan jenis ini mempunyai urutan kunjungan sebagai berikut :
· Cetak isi simpul yang dikunjungi.
· Kunjungi cabang kiri.
· Kunjungi cabang kanan.
Prosedur untuk melakukan traversal secara PREORDER adalah sebagai berikut:
- INORDER
Kunjungan jenis ini mempunyai urutan kunjungan sebagai berikut :
· Kunjungi cabang kiri.
· Cetak isi simpul yang dikunjungi.
· Kunjungi cabang kanan.
Prosedur untuk melakukan traversal secara INORDER adalah sebagai berikut:
- POSTORDER
Kunjungan jenis ini mempunyai urutan kunjungan sebagai berikut :
· Kunjungi cabang kiri.
· Kunjungi cabang kanan.
· Cetak isi simpul yang dikunjungi
BERIKUT MERUPAKN CONTOH PROGRAMNYA
#include<stdio.h>//header file
#include<conio.h>
/* Deklarasi struct */
typedef struct Node{
int data; //data pada tree
Node *kiri; //penunjuk node anak kiri
Node *kanan; //penunjuk node anak kanan
};
/* Fungsi untuk memasukkan data ke dalam tree */
void tambah(Node **root, int databaru){
if((*root) == NULL){ //jika pohon/subpohon masih kosong
Node *baru;//node “baru” dibentuk…
baru = new Node;//berdasarkan struct “Node”
baru->data = databaru; //data node baru diisi oleh variabel databaru
baru->kiri = NULL;//penunjuk kiri node baru masih kosong
baru->kanan = NULL;//penunjuk kanan node baru masih kosong
(*root) = baru; //node pohon (root) diletakkan pada node baru
(*root)->kiri = NULL;//penunjuk kiri node root masih kosong
(*root)->kanan = NULL; //penunjuk kanan node root masih kosong
printf(“Data bertambah!”);
}
else if(databaru < (*root)->data)//jika databaru kurang dari data node root…
tambah(&(*root)->kiri, databaru);//tambahkan databaru pada subpohon kiri
else if(databaru > (*root)->data)//jika databaru lebih dari data node root…
tambah(&(*root)->kanan, databaru); //tambahkan databaru pada subpohon kanan
else if(databaru == (*root)->data)//jika databaru sama dengan data node root
printf(“Data sudah ada!”);//databaru tidak dapat ditambahkan pada tree
}
/* Fungsi untuk menampilkan data secara pre-order
(data ditampilkan dari node induk, node anak kiri, lalu node anak kanan)
*/
void preOrder(Node *root){
if(root != NULL){//jika pohon/subpohon tidak kosong
printf(“%d “, root->data);//menampilkan data node yang dikunjungi
preOrder(root->kiri);//mengunjungi node anak kiri
preOrder(root->kanan); //mengunjungi node anak kanan
}
}
/* Fungsi untuk menampilkan data secara in-order
(data ditampilkan dari node anak kiri, node induk, lalu node anak kanan)
*/
void inOrder(Node *root){
if(root != NULL){//jika pohon/subpohon tidak kosong…
inOrder(root->kiri);//mengunjungi node anak kiri
printf(“%d “, root->data);//menampilkan data node yang dikunjungi
inOrder(root->kanan);//mengunjungi node anak kanan
}
}
/* Fungsi untuk menampilkan data secara post-order
(data ditampilkan dari node anak kiri, node anak kanan, lalu node induk)
*/
void postOrder(Node *root){
if(root != NULL){//jika pohon/subpohon tidak kosong
postOrder(root->kiri); //mengunjungi node anak kiri
postOrder(root->kanan);//mengunjungi node anak kanan
printf(“%d “, root->data); //menampilkan data node yang dikunjungi
}
}
main(){
int pil, c;
Node *pohon, *t;
pohon = NULL;
do{
int data;
printf(“MENU\n”);
printf(“1. Tambah\n”);
printf(“2. Lihat Pre-Order\n”);
printf(“3. Lihat In-Order\n”);
printf(“4. Lihat Post-Order\n”);
printf(“5. Exit\n”);
printf(“Pilihan : “); scanf(“%d”, &pil);
switch(pil){
case 1 :
printf(“Data baru : “);
scanf(“%d”, &data);
tambah(&pohon, data);
break;
case 2 :
if(pohon != NULL)
preOrder(pohon);
else
printf(“Masih kosong!”);
break;
case 3 :
if(pohon != NULL)
inOrder(pohon);
else
printf(“Masih kosong!”);
break;
case 4 :
if(pohon != NULL)
postOrder(pohon);
else
printf(“Masih kosong!”);
break;
}
getch();
printf(“\n”);
}
while(pil != 5);
}
|
HASIL
Sumber :
Komentar
Posting Komentar