T POLITALA MATDIS 1A
RELASI
Misalkan A & B sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan Fmerupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan, tetapi mengikuti aturan tertentu.
Example:
Misal A = {2, 4, 6} dan B = {2, 4, 6, 8 }.
A × B menjadi :
A × B = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}
Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari A ke B yang mengikuti aturan tadi menjadi,
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}
Hubungan/Relasi bisa juga terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan pada A, di himpunan A, yang merupakan himpunan A × A.
A. Macam-macam Relasi dan Sifat-sifat Relasi
Relasi memiliki beberapa macam sifat berikut adalah penjabarannya :
1. Relasi Biner
Adalah hasil kali 2 himpunan atau relasi yang menghubungkan 2 himpunan yang himpunan bagianya tidak kosong. Sifat-sifat relasi Biner :
Reflektif
Suatu relasi bersifat reflektif , jika setiap x є A, maka (A,A) є R. Contoh :
B = {1,2,3} dan R = {(x,y)│x,y є B, xy > 0}
Apakah R reflektif atau tidak ?
B x B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3) dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R = {(1,1),(2,2),(3,3)}. Karena semua hasil xy > 0 dan x є B, maka R adalah relasi yang reflektif.
Simetris
Suatu relasi bersifat simetrik, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx. Contoh:
M = {-2,-1, 0, 1, 2} dan R = {(x,y) │x,y є M, xy > 0}
Apakah R simetris atau tidak?
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2), (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2),(2,-1), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R = {(-2,-2), (-2,-1), (-1,-2), (-1,-1), (1, 1), (1, 2), (2, 2)}. Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,y є M. Jadi R adalah sebuah relasi yang simetris.
Antisimetris
Suatu Relasi bersifat antisimetris, jika untuk setiap x,y є A dengan xRy dan yRx maka x =y. Contoh :
A = {-2,-1,0,1,2} dan R = {(x,y) │x,y є A, y = │x }
Apakah R antisimetris atau tidak ?
M x M = {(-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2),(2,-2),(2,-1), (2,0), (2,1), (2,2)}, dari hasil kali Cartesian kita memperoleh R = {(-2,2),(-1,1),(1,1),(0,0),(2,2)}. Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R dengan x,yєA. Jadi R adalah sebuah relasi yang Antrisimetris.
Transitif
Suatu Relasi bersifat transitif, jika setiap x,y,z є A dengan xRy, yRz, danxRz. Contoh :
A = {-1,0,1} dan R = {(x,y) │x,y є A, x ≥ y}
Apakah R transitif atau tidak Punya :
A x A = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)} . Dari hasil kali Cartesian kita memperoleh, R = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,0), (0,1), (1,1)}. Dari sini jelas terlihat bahwa untuk setiap (x,y,z є A) dengan xRy dan yRz, berlaku xRz.
2. Relasi Ekuivalen
Adalah relasi yang memenuhi 3 sifat relasi yaitu reflektif, simetris dan transitif. Contoh :
B = {a,b,c,d} dan R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)}
Apakah R ekivalen atau tidak ?
Reflektif : {(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, ya reflektif karena x є B berlaku (x,x) є R.
Simetris : Karena untuk setiap x,y є B dengan xRy berlaku yRx, maka R simetris.
Transitif : {(a,b),(b,a),(a,a)}, karena x,y,z є B dengan xRy dan yRz berlaku xRz, Maka adalah relasi yang transitif.
Karena tiga sifat diatas yaitu reflektif, simetrik dan transitif dipenuhi maka kita dapat simpulkan bahwa R adalah relasi ekivalen.
3. Relasi Tolak Parsial (POSET)
Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial jika ia refleksif, tolak setangkup, dan menghantar. Himpunan S bersama-sama dengan relasi disebut himpunan terurut sacara parsial, dan dilambangkan dengan (S, R).
Contoh 1:
Relasi pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial.
Penyelesaian:
Relasi refleksif : karena A, A untuk setiap bilangan bulat A
Relasi tolak-setangkup : karena jika a b dan b , maka a = b.
Relasi menghantar : karena jika a b dan b c maka a c.
Contoh 2:
A = himpunan siawa SMP
R = relasi pada A
(a, b) R jika a sekelas dengan b. Tentukan (A, R)
Penyelesaian:
R refleksif : setiap siswa SMP sekelas dengan dirinya sendiri
R tolak setangkup : jika a sekelas dengan b, maka b pasti dengan a.
R menghantar : jika a sekelas dengan b dan b sekelas dengan c, maka pastilah a sekelas dengan c.
Catatan : Secara intuitif, di dalam relasi pengurutan porsial, 2 benda
saling berhubungan jika salah satunya lebih kecil (lebih besar) atau lebih
rendah (lebih tinggi) daripada lainnya.
4. Representasi
Representasi Notasi : R ⊆ (A x B)
Jika (a, b) ∈ R , maka kita dapat gunakan notasi a R b yang artinya adihubungkan dengan b oleh R. Namun jika (a, b) ∉ R, maka kita dapat gunakan notasi a R b yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh relasiR. Misalkan P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}. Jika kita definisikan relasiR dari P ke Q dengan : (p,q) ∈ R jika p habis membagi q. Maka kita peroleh
R = {(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}
Representasi Table
Relasi dapat direpresentasikan menggunakan tabel. Kolom pertama untuk menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua untuk menyatakan daerah hasil. Misalkan P = {2,4,6} dan Q = {2,4,8,10,12,13}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan : (p,q) ∈ R jika p habis membagi q. Maka kita peroleh
R = {(2,2),(2,4),(2,8),(2,10),(2,12),(4,4),(4,8),(4,12),(6,12)}
Representasi Matriks
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, an} dan B ={b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij], dimana Dengan kata lain, elemen matriks bernilai 1 jika a¡ dihubungkan dengan bj, dan bernilai 0 jika tidak dihubungkan dengan bj. Relasi pada contoh 1 dapat dinyatakan dengan matriks berikut :
Dalam hal ini, a1 = Andi, a2 = Beni, a3 = Caca, dan b1 = TI231, b2 = TI321,b3 = TI412, b4 = TI221.
Representasi Graf Berarah
Pada graf berarah, tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (vertex), dan tiap pasangan nya dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan pada sebuahpanah. Jadi, jika (a, b) ∈ R, maka busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpulb disebut simpul tujuan (terminal vertex).
Contoh :
a. Representasi graf untuk relasi R = {(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,d),(a,d)}.
b. Representasi graf untuk relasi R = {(2,2), (2,5), (2,7), (3,8)}.
Setiap elemen pada himpunan A maupun himpunan B gambarkan dengan sebuah simpul (titik bulat) dan arah dari suatu elemen ke elemen yang lainnya ditunjukkan dengan sebuah panah.
Setiap elemen pada himpunan A maupun himpunan B gambarkan dengan sebuah simpul (titik bulat) dan arah dari suatu elemen ke elemen yang lainnya ditunjukkan dengan sebuah panah.
SUMBER :
https://lamalamatika.wordpress.com/materi-relasi/
Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika
Komentar
Posting Komentar